三階魔術方塊由1個中心軸、6個中心塊、12個邊塊及8個角塊構成，當它們組合在一起的時候每個零件會互相牽制不會散開，並且任何一面都可水平轉動而不影響到其他方塊。三階魔術方塊色塊的總變化數是：
三階魔術方塊總變化數的算式是這樣得來：8個角塊可以互換位置(×8!)，也可以旋轉(×3)，但不能單獨翻轉一個角塊(÷3)，所以總共有8!×38÷3種變化狀態。
12個邊塊可以互換位置(×12!)，也可以翻轉(×(2＾12))，但不能單獨翻轉一個邊塊(也就是將其兩個面對調)(÷2)，也不能單獨交換兩邊塊的位置(÷2)，所以總共有12!×(2＾12)÷2÷2種變化狀態。
三階魔術方塊總變化數的算式是這樣得來：8個角塊可以互換位置(×8!)，也可以旋轉(×3)，但不能單獨翻轉一個角塊(÷3)，所以總共有8!×38÷3種變化狀態。
12個邊塊可以互換位置(×12!)，也可以翻轉(×(2＾12))，但不能單獨翻轉一個邊塊(也就是將其兩個面對調)(÷2)，也不能單獨交換兩邊塊的位置(÷2)，所以總共有12!×(2＾12)÷2÷2種變化狀態。
某些魔術方塊在各個面的圖案具有方向性，考慮到6個中心塊各有4種朝向(×(4^6))，但不能僅僅將一個中心塊旋轉90度(÷2)，這時總變化數目還要再乘以(4＾6)÷2。此時結果為：
對於一個拆散又再隨意組合的魔術方塊，總變化數則是：
也就是說，拆散魔術方塊再隨意組合，有11/12的機率無法恢復原狀。
魔術方塊不只好玩，它在數學上用到了極多代數中的李群(Lie Algebra)、群論(Group Theory)，還有一些離散數學(Discrete Mathematics)及機率(Probability)的相關知識。魔術方塊發展至今已有不少研究了，其中最大的課題就是「任意的三階魔術方塊，可以保證最少幾步完成？」1982年佛雷(Alexander H. Frey, Jr.)與辛馬斯特(David Singmaster)合著的《魔術方塊手冊》(Handbook of Cubik)裡，稱這個答案為「上帝的數字」(God's number)，並證明這個數字介於17~52之間；也就是說，任意亂的情況，都可以在52步內完成，而且有一些情況保證至少要17步才能完成，書中並猜測上帝的數字為20。怎麼樣才算「一步」，常見的有兩種算法：一種是只要把一個面轉90度就算一步，稱做「quarter-turn metric」(QTM)；另一種是轉動一個面算一步，不管轉幾度，稱做「face-turn metric」(FTM)。QTM中若把一個面轉180度，就算兩步，而在FTM中只算了一步，因此FTM的數字會比QTM的少，而一般沒特別指明的話，都是用FTM來計數。
1995年，美國玩家瑞德(Michael Raid)證明了某種情況至少需要20步才能完成，他將這些情況稱做「Superflip」，同時，他也證明了可以在29步內完成所有的方塊(QTM為42步)，一口氣把上帝的數字範圍縮小到20~29之間。2006年，雷杜(Silviu Radu)用群論證明了上界可以再縮小到27步(QTM為34步)，他將所有的情況分成幾類，並借助離散代數系統(GAP)證明出在27步內都能完成。1990年，美國東北大學的電腦科學家古柏曼(Gene Cooperman)等人，在一個談代數編碼的研討會上，發表了「2×2×2的方塊皆可在11步內(QTM為14步)完成」；2007年，古柏曼與他的學生庫柯爾(Daniel Kunkle)將這個方法推廣到3×3×3的方塊上，設計了一個平行演算法，用20台超級電腦，總共花了8000個小時，證明出26步內可以完成。2008年3月，美國史丹佛大學的羅區奇(Tomas Rokicki)繼證明25步即可完成後，8月又在「魔方領域」(Domain of the Cube Forum)論壇中宣稱可以證明出22步即可完成，震驚了整個魔方界。
直到2010年7月，羅區奇與一位數學家與兩位電腦工程師，一起用證明了上帝的數字的確是20，解除了這30年一直存在數學家心中的疑惑，詳細情形請見「God's Number is 20」。想要學學如何解魔術方塊嗎？下列網站都是專門的教學網站，提供有興趣的人可以連結前往一窺其中奧秘。
參考資料：
(1)DavidGuo／寓數學於魔方／http://www.davidguo.idv.tw/cube/Introduction.html
(2)維基百科／http://zh.wikipedia.org/wiki/魔方
(3)魔術方塊解法教學／http://www.davidguo.idv.tw/cube/
(4)魔術方塊資訊大百科Rubik's Cube／http://frrscc.hostzi.com/rubikscube.html
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