數聞-9》再來一發Google Doodle－紀念大師Leonhard Euler(歐拉)

        Google首頁塗鴉開始於1998年，剛開始就只是個首頁圖示而己，接下來開始會以西方的節日或重大活動為主題更換圖示。直到2003年才開始出現歷史人物或事件的紀念塗鴉作品。

        這是2013/4/15的Google首頁塗鴉，為紀念現代數學大師Leonhard Euler(歐拉)的306周年誕辰。歐拉生於1707年4月15日，是瑞士數學家和物理學家。歐拉被一些數學史學者稱為歷史上最偉大的兩位數學家之一(另一位當然是高斯啦！)。歐拉是第一個使用“函數”一詞來描述包含各種參數的表達式的人，同時，歐拉也是將微積分應用於物理學上，為建構分析力學的先驅者之一。歐拉也解決了柯尼斯堡七橋問題、提出歐拉公式等。其中，柯尼斯堡七橋問題、歐拉公式等都是目前社會常見的數學應用。

        這個塗鴉彰顯了歐拉的數個成就(當然，這只是他眾多成就的一小部分！)。左上為在幾何學和代數拓撲學方面，歐拉公式給出了單連通多面體的邊、頂點和面之間存在的關係：
                                              。
        左下為柯尼斯堡七橋問題(一筆畫問題，1737年)，這是由實境轉換而來的數學問題。歐拉把實際的問題轉化為平面上的點與線組合，每一座橋視為一條線，橋所連接的地區視為點。這樣若從某點出發後最後再回到這點，則這一點的線數必須是偶數，這樣的點稱為偶頂點。相對的，連有奇數條線的點稱為奇頂點。歐拉論述了，由於柯尼斯堡七橋問題中存在4個奇頂點，它無法實現符合題意的遍歷要求。他進一步提出，對於一個給定的連通圖，如果存在兩個以上（不包括兩個）奇頂點，那麼滿足要求的路線便不存在了，且有n個奇頂點的圖至少需要n/2筆畫出。如果只有兩個奇頂點，則可從其中任何一地出發完成一筆畫。若所有點均為偶頂點，則從任何一點出發，所求的路線都能實現，他還說明了怎樣快速找到所要求的路線。

         右上，是歐拉公式。在初等分析中，所有的函數從本質上來說，若不是指數函數的變種形式，就是多項式及其變種的形式，但三角函數卻是不在這兩者之中。歐拉將虛數的乘方定義為如下形式：
                                              
將三角函數歸為指數函數的形式，這就是歐拉公式。

         右下，偉大的物理學家理察·費曼譽為「最卓越的數學公式」 ：
                                               
被稱為歐拉恆等式。是歐拉公式的一個簡單推論(代時)。事實上，筆者較喜歡下面的形式：
                                               
因為式中涵蓋了實數和虛數單位元素1和 以及兩個偉大的超越數和且算式終歸於0！
        中間呢？原圖是以動畫呈現的。筆者才疏學淺，並未能參透這個圖的意涵，幾經閱讀相關文章，大膽猜測為「歐拉旋轉定理」。以下為原文抄錄：在運動學裏，歐拉旋轉定理(Euler's rotation theorem)表明，在三維空間裏，假設一個剛體在做一個位移的時候，剛體內部至少有一點固定不動，則此位移等價於一個繞著包含此固定點的固定軸的旋轉。在1775年，歐拉使用簡單的幾何論述證明了這定理。用數學術語來說，在三維空間內，任何共原點的兩個座標系之間的關係，是一個繞著包含原點的固定軸的旋轉關係。這也意味著，兩個旋轉矩陣的乘積仍是一個旋轉矩陣。一個非單位矩陣的旋轉矩陣必有一個實數值的特徵值(eigenvalue)，且這特徵值是 1 。 對應於這特徵值的特徵向量(eigenvector)就是此旋轉所環繞的固定軸。(部分內容及圖片引用自維基百科)