數趣-11》有趣的數學定理

醉漢總能找到家

定理：醉漢總能找到回家的路，而昏頭的小鳥卻可能永遠也回不了家

        一個醉漢在(平面)街道上隨機漫遊，假設整個城市的街道呈格子狀分佈，且酒鬼每走到一個十字路口時(格子點處)，轉向前、後、左、右各方向的機會均等(包括自己來時的那條路)，照這個規則繼續走下去。那麼他最終能夠回到出發點的機率是100%。
        而昏頭的小鳥就沒這麼幸運了。假如小鳥飛行時，如同醉漢般每次在空間格子點處轉彎時，朝向上、下、左、右、前、後各方向的機會均等，若照這個規則繼續飛行下去，那麼它很有可能永遠也回不到出發點。也就是說，在三維(度)空間中隨機遊走，最終能回到出發點的機率只有大約34%。
        這個定理是著名數學家波利亞(George Pólya)在1921年證明的。隨著維度的增加，回到出發點的機率將變得越來越低。在四維空間中隨機漫遊，最終能回到出發點的機率是19.3%，而在八維空間中，機率只有7.3%。

如如不動的豆子

 定理：把一張某地區的地圖放大平鋪在該地，則必能在地圖上找到一點，使得這個點下面的地方正好就是它在地圖上所表示的位置。

        1912年，荷蘭數學家布勞威爾(L. E. J. Brouwer)證明了這樣一個定理：假設D是某個拓撲空間，f是一個從D對應到它自身的連續函數，則必存在一個點x，使f( x)=x。簡單點講，即讓一個布滿綠豆的盤子裡的所有的綠豆做連續的運動(滾動)，則在任何時間總有一顆綠豆可以正好回到運動之前的位置。這個定理叫做布勞威爾不動點定理。
        這個定理也可以擴展到三維空間中去：將整罐綠豆作充攪拌動作，則在任何時間總有一顆綠豆必與它在攪拌前的位置相同，雖然這顆豆子在攪拌過程中可能到過別的地方。

永遠不能梳平全身毛髪的毛怪

 定理：你永遠不能理順布滿全身的毛髪。


        看過動畫「怪獸電力公司」吧！明星怪獸毛怪有一天突發奇想，拿著梳子想把自己身上的毛梳平，但是他再怎麼梳都無法做到，這是為什麼呢？
        想像一個表面長滿毛的球體，你能把所有的毛全部梳平，不留下任何像雞冠一樣的一撮毛或者像頭髮一樣的旋嗎？拓撲學告訴你，這是辦不到的。
        這就是毛球定理，也是由布勞威爾(L. E. J. Brouwer)首先證明的。用數學語言來說就是：在一個球體表面，不可能存在連續的單位向量場。這個定理可以推廣到更高維的空間：對於任意一個偶數維的球面，連續的單位向量場都是不存在的。
        毛球定理在氣象學上有一個有趣的應用：由於地球表面的風速和風向都是連續的，因此地球上總會有一個風速為0的地方，也就是說氣旋和風眼是不可避免的。