【科學月刊】在1994年8月296期 作者：洪誌陽
1887 年十二月十三日，波里亞出生於匈牙利布達佩斯市。父親是當時一家跨國保險公司在布達佩斯辦事處的律師，之前曾有過單獨執業的經驗。但他真正的興趣卻在於經 濟和統計上，並且一直花時間在自修。他最大的希望就是能在學院中獲得一個教職，以便能夠花全部的時間來做研究。為了達成這樣的目標，老波里亞在 1882 年把家族名稱從 Pollak 改成純正的匈牙利文 Polya，並且在當律師期間，寫一些書冊，同時也學習語文。在他心臟病發過世不久前，終於成功地成為大學的不支薪講師。
幼年求學時期
波里亞的母親來自布達（Buda）的一個世家，該家族從16世紀以來就一直世居布達，並出過好幾個專業的人材；其中一位著名的植物學家，與波里亞的母親同輩。
波里亞十歲的時候父親過世，家中只剩下母親和兄弟姊妹，相依為命。波里亞的哥哥學的是醫藥，後來成為一位著名的外科醫生和大學外科教授。但是他也很 喜歡數學，而且常後悔選擇醫藥而不是數學做為他的生涯。自從父親過世後，波里亞的兩位姐妹只好到保險公司上班，以維持家計開銷。不久弟弟卻在第一次世界大 戰中，不幸喪生。
年輕時的波里亞對數學並沒有特別的興趣，他在布達佩斯一所古文中學就讀。據他回憶，學校裡比較有名的老師都教他拉丁文、匈牙利文以及地理，他們也都 是匈牙利科學院的成員。他提及校內三位數學老師「兩位很糟，另一位則不錯」，這或許可以解釋為什麼波里亞早期對以數學為生涯的興趣不高的緣故吧！
波里亞在中學時參加兩個自我學習小組（self-study group），一個有關數學和物理，另一則是文學。波里亞回憶說在那時他已經是一個不錯的解題者，但是在這方面並沒有進一步的發展和努力。就學期間，他能 輕易地在班上維持二～四名，但都未得過第一。有趣的是，他對當時吸引、啟發同輩的奧特佛斯（Eotvos）競試（註一）並沒有顯得特別有興趣，甚至去參加 這項比賽時，在最後卻沒有交卷。
波里亞的母親希望他長大後接替父親的職業，所以1905年因成績優異，得免學費進入布達佩斯大學時，第一學期就選擇法律系，但不久就覺得無聊。後來 讀了達爾文的《人類的起源》（The descent of man）之後，一度對生物學產生興趣，又因哥哥堅持「讀生物賺不到錢」而作罷。後來他轉學文學和語文兩年，並通過教師資格考試，拿到可以在古文中學教低年 級拉丁文和匈牙利文的執照，卻從來沒使用過。同時，波里亞又去念哲學，他的哲學老師卻勸他去學習數學和物理學，認為這樣反而對學哲學有幫助。所以他才開始 認真地學習當年求學時並沒有多大興趣的數學。
良師的啟發
在布達佩斯大學時，他的物理學教授是以教科學和教育而鼎鼎大名的奧特佛斯教授。波里亞說奧特佛斯是學校裡最好的老師，他對物理學的喜愛可說是肇因於教授令人難忘的講課內容。
但在布大影響波里亞最深的老師，卻是數學家費耶（L. Fejer）。費耶大約在20歲發現「費耶定理」（有關傅立葉級數的算術平均數）。他的論文寫得非常好，而且很容易懂。據波里亞記憶，費耶老師曾說過：「當我寫一篇論文時，我必須重新為我自己導出微分的法則，有時甚至包括乘法的交換律。」
波里亞認為這顯示了老師數學才能的一個基本觀點：對直觀、清楚與詳盡的喜好。同時也顯示出老師研究的風格：「當他（費耶）發現一個想法，他用鍾情般的謹慎去接近它，嘗試去簡化它、讓它完美、讓它儘量的基本。他小心地研究它，一直到這個想法變得明顯清晰。他最後創造出一個基本的作品，雖然沒有太長，但卻是高度精緻的。
他並沒有解決非常困難的問題，或建立大量的概念結構。但是他能夠覺察到不是很大但具體的問題意義、它的美和它的廣度。能夠有遠見地看到一個解的可能 性，而且熱情工作著。當他發現解答時，他仍然持續小心地思考它，一直到每一個細節都變得完全直觀，而且整個步驟的安排也完全顯明。」有趣的是，波里亞對老師的評價，正好類似於別人對波里亞本人的評定。
波里亞眼裡的費耶老師，除了數學之外還有藝術方面的才能，愛音樂而且彈一手好琴，也是一個很好的畫家。他喜歡坐在布大的小餐廳裡，和學生解解有趣的數學問題，說說數學家的故事。布大就是以他為中心，實際地發展成第一所有意義的「數學學校」。
瑞士蘇黎士時期
波里亞於1910～11年到維也納大學求學，藉著家教來賺取學費。1912年他回到布達佩斯大學並在那兒取得他的數學博士學位，論文是有關機率方面 的，當時因為布達佩斯大學並沒有人對機率有興趣，所以他是在沒有指導教授的情況下完成學位。1912～13年他到哥廷根（Gottingen）大 學；1914年春天，轉往巴黎大學；同年秋天，他接受赫維茲（A. Hurwitz）的邀請，到蘇黎士的高等工技學院（ETH﹐Eidgenossiche Technische Hochschule）任教，一直待到1940年﹐而且移民到美國後也經常回去訪問。
數學家克雷（F. Klein）在他的《19世紀的數學發展》（Development of Mathematics in the 19th Century）一書中稱呼赫維茲為一位「格言者」（aphoristician）。一句格言雖精確簡單卻擲地有聲；文句不長，但作者可能花了很多時間來 使它變得如此精簡。赫維茲也一樣，他小心地審視自己的想法，直到能用最簡單的形式來表示他所精熟的數學。赫維茲格言般的論文，在寬廣的數學知識領域中所找 到的精彩問題和令人驚奇的解答﹐以及表現解答的那種完善形式﹐深深地吸引著波里亞。
波里亞負責編輯死後的赫維茲論文全集，他非常讚賞赫維茲對一些問題所做的數學日誌。這些數學日誌對波里亞一生影響甚鉅：他保有著自己生涯中的數學日誌，記錄著數學性的對話和他自己的數學想法。而這些數學日誌很可能後來成為日後寫作解題書籍的基礎。
在第一次世界大戰期間﹐由於童年的一次足球傷害引起血毒症，動了腿部的手術，所以剛開始時匈牙利陸軍拒絕他服役。後因為戰況緊急，士兵的需要量激 增，又要求他從瑞士回國報到。但此時波里亞因受到直言無諱的和平主義文章的影響，認為戰爭是不對的，所以拒絕回國。就因為這樣，一次世界大戰後，他有長達 30年的時間不能返回自己的祖國。
波里亞後來成為瑞士公民，並在 1918 年結婚，夫婦結褵 67 年，但未留有子嗣。因為夫人是在瑞士的法語區長大，所以他們在家中是用法語交談。波里亞的母語是匈牙利語，而他們住在瑞士的德語區。後來他自學英文，並且 用德文、英文、法文、匈牙利文、丹麥文和義大利文發表數學論文。除此之外，他在學校學過拉丁文和希臘文，對於其他的語文，他也多多少少可以閱讀。早期對於 語言及文學的興趣，從未離開過他。
1914年波里亞在E. T. H.任不支薪講師。1920 年升等為半支薪教授，最後在 1928 年成為正教授。1924年獲得第一屆國際洛克菲勒基金會獎助，前往英國研究，先是在牛津的新學院（New college）後來則是劍橋的三一學院（Trinity College）。他的成果主要就是和哈笛（Hardy）和李特伍德（J. E. Littlewood）共同合寫《不等式》（Inegualities），由劍橋大學在 1934 年出版。這本書開始時是為了劍橋大學的一套系列書而寫的。直到現在仍然是一本標準的參考書，而且特殊不等式的證明也引發大量的後續論文。多年後當被問到關 於他對於算術和幾何平均不等式證明的發現時（註二），波里亞回答說：「這是我能夠想像的最好的數學」。
經典著作：《分析中的問題和定理》
1923年波里亞和較他小的同鄉賽果（G. Szego）開始長期的合作。他在布達佩斯時就聽說過賽果的名字，他們和出版公司簽了一張合約，承諾寫一本有關分析領域問題集的書。這本書後來名叫做《分 析中的問題和定理》（Aufgaben und Lehrsatze aus der Analysis），這大概是他們最重要的一本書。
剛開始時，波里亞是有一些關於分析中問題集的想法，但他知道如果要按照心中的計畫，一定需要幫助，所以就找賽果一起合作。這兩冊書的重要性不僅僅在 於裡面所含問題的廣度和深度，同樣在於它的編排方式。書的編排相當具有原創性：這些問題不是以主題做分類，而是依據解題的方法。做這樣的安排需要極度的專 注，這使得波里亞在這段期間內過度工作，令人擔心他的健康。幸好，主要的數學結果寫出來了，而且在《分析中的問題和定理》中，波里亞和賽果寫出確立他們名 聲的經典名作。
波里亞早期在蘇黎士的論文產量是不可思議的，在這段期間，他發表大量的論文，甚至一年多達12篇，而且論文所涉及領域甚為至廣。在 1918 年他發表有關級數、數論、組合數和投票系統的論文。1919 年，同樣有關於分析、數論和投票系統的論文，但另外在天文、機率和教育上也都有文章發表。所有這些成果都是他在研究深奧的積分函數同時獲得的，並且在這段 他還和賽果聚在一起討論並寫作《分析中的問題和定理》。
轉進美國史丹佛大學
在1933年波里亞又再次被選為洛克菲勒基金會的受獎助人，這次他選擇訪問的是美國普林斯頓大學。雖然那時在普林斯頓並沒有和他合作密切的數學家，但他主要是和韋柏倫（O. Veblen）討論問題，而且也在美國東岸遇到其他的數學家。
那年夏天他接受邀請訪問史丹佛大學。隔年（1934）賽果因納粹的迫害離開德國至美國，並於1938年也到史丹佛並在那兒擔任數學系主任，這和波里亞往後的生涯有極大的關係。
1933年夏天，波里亞夫婦第一次抵達史丹佛大學時，就直覺地喜歡上加州，特別是史丹佛大學。後來由於歐洲的戰火蔓延，局勢不安，波里亞夫婦就借道 離開瑞士至美國。當時有許多優秀的學者，紛紛從德國、波蘭和其他被納粹軍隊所占領的國家逃離歐洲，所以在美國適當的教職不容易獲得。他們先在布朗大學兩 年，直到波里亞獲得史丹佛大學的教職，當時賽果是數學系的系主任。
在1942年波里亞夫婦在加州定居下來，在史丹佛大學度過他餘生的學術生涯。那年秋天又和賽果重新碰面，不久後就開始他們新的合作關係。這次是有關 數學物理的一系列論文和第二本書《數學物理中的等周不等式》（Isoperimetricinequalities in mathematical physics），1951年由普林斯頓大學出版，書中內容也顯示了他在物理學的興趣。
另一個生涯的開展──數學解題
波里亞來到美國之後，開始純數學研究領域外的另一個新的生涯。當年他還在蘇黎士時，已經用德文寫一本有關解題方面的書的草稿。當他告訴哈笛有關他寫的《如何解題》時，哈笛勸他說：「你應該到美國去，因為美國人很喜歡像『如何…』（How to…）這樣的書。」
到美國後波里亞又用英文重寫一遍，和原本的德文版已經有相當大的不同。在開始波里亞曾跑過四家出版社 都遭拒絕，後來普林斯頓大學願意，並在1945年出版，在銷售上竟然獲得極大的成功。自從1945年以來，《如何解題》就從未絕版過，銷售量超過100萬 本。它也被翻譯成17種文字（包括中文），可能是現代數學書的記錄保持者。隨著《如何解題》的成功，波里亞又在 1954 年和 1955 年又出版兩冊《數學和合情推理》（Mathematics and plausible reasoning），裡面列舉原先列在《如何解題》裡的某些啟發法則的例子和他的一些論文。它所涵蓋的數學層次，也比《如何解題》深奧許多。後來又在 1962 年和 1965 年出版同樣是兩本裝的《數學發現》（Mathematical Discovery）。這些出版品建立了他做為當代解題和啟發法倡導者的鮮明角色。
在 1950 年代，他寫書而且四處演講，投入大量的時間在這個主題上，成為在美國但實際是全世界數學教育上最顯目的聲音。1953 年波里亞在史丹佛大學名譽退職，但因其優越的數學能力，史丹佛大學修正退職教授不能再任教的規定，因此波里亞成為第一位在史丹佛名譽退職卻仍然繼續教書的 教授。之後他對師資的訓練愈來愈有興趣，並且從1955～1974 年，在史丹佛由通用電子（General Electric Shell, GES）和國家科學基金會（National Science Foundation, NSF）所贊助的一系列特殊講座上，四處為高中及大學教師講演這個主題。
創立普特南競試
1946年，賽果和波里亞仿照在匈牙利的奧特佛斯競試形式，開始在史丹佛舉辦高中競試；可惜不久因史丹佛大學將數學重心放在研究所教學而於1965年停辦。
二次世界大戰後不久，波里亞等人組成一個委員會，舉辦戰後第一屆的普特南競試（Putnam Examination），波里亞從1948～1950年都是普特南獎委員會的成員。1947年，他也成為美國數學協會（Mathematical Association of America, MAA）的北加州主席。
退休的生活
波里亞退休後的生活很忙碌，從 1953～56 年，他是M.A.A.的旅遊講演者（travelling lectcher），訪問美國的許多校園。對波里亞特別重要的是 1972 年在英國Exeter舉行的「第二屆國際數學教育會議」（International Congress On Mathematical Education, ICME）。會議上他被大會以「傑出邀請者」（Distinguished Guests）的名義受邀參加，並發表講演。波里亞以十句摘錄的引述，刺激與會者思考，令人印象相當深刻。
一生的榮耀
1980 年，在美國柏克萊舉行的第四屆ICME，波里亞被推為榮譽主席，但在會議舉行的前幾個月，他罹患嚴重的帶狀匍行症，所以無法參加，只提交一篇短短的文章 〈數學促進心靈〉（Mathematics Promotes the Mind）。從這次病後，波里亞的身體狀況就一直不好，但是他卻滿意自己這一生的成就，他覺得已在能力範圍內，做到所能做的事了。
波里亞晚年視力變得很差，閱讀非常吃力，但是絲毫不減熱情地大量閱讀，所閱讀的資料大部分都是自己的論文和書，這不是自負或驕傲，而是一種重溫時的 喜悅和享受。波里亞同時仍然繼續編輯和主持幾個不同的計畫，一直到他死前的幾個月。1985 年九月七日，波里亞因中風病逝於加州家中。
波里亞一生的成就為他帶來許多的榮譽和盛名。許多著名的大學陸陸續續授與榮譽博士學位─包括加拿大亞伯特（Alberta）大學、美國威斯康辛大 學、比利時滑鐵盧大學及E. T. H.，也是許多國家科學院的成員，包括極富盛名的巴黎國家科學院士（Academie des Sciences）的通訊會員席位（波里亞曾經很驕傲地說：這席位的第一個擁有者可以追溯到英國的牛頓）。此外，他也是下列各學院的會員或各學會的榮譽會員：美國文藝與科學院；匈牙利科學院；美國國家科學院；普魯士國家科學院；倫敦數學學會；瑞士數學學會；紐約科學院；英國數學學會及法國數學學會。
此外，史丹佛大學裡，只有一幢建築物是以數學家命名的，那就是波里亞學院（數值分析學系的校舍），而且數學系的圖書館裡，也只有波里亞一人的肖像被陳列出來。
對解題興趣的貢獻
當他被問到在過去的數學家中，那個最受他尊敬時，波里亞毫不遲疑的回答「尤拉」（Euler），他說：「在過去的數學家裡，我受尤拉的影響最深，主要是因為他做了一些其他有相同才幹的數學家所沒做的事。他解釋如何發現自己的結果，而我則深深的為那些結論所打動……。」波里亞自謙地承認自己並沒有熟悉尤拉的作品，但事實上他知道很多尤拉的作品，而且了解得很深入。波里亞對尤拉的興趣，基本上和他個人所呈現的數學家典型及教師風貌是相符的。而且無疑的，它和波里亞對解題的興趣也是有關的。
當波里亞被問及如何對啟發法（Heuristics）和解題的藝術有興趣時，他回答說：「……我很遲才學數學。我對生物、文學和哲學都有興趣，當我開始學數學時，我常想：嗯！很好，這樣沒錯，這個證明似乎已經被證明了。但是人們是如何發現這些結果的？我在了解數學時的困難是：它是如何被發明的？然後我深深地被一些書所吸引。其中一本是馬赫（E. Mach）的《力學史》（the History of Mechanics），其主要想法是：除非你知道一個定理是如何被發現，否則你沒有辦法了解它……為了要真正地了解一個理論，你必須知道它是如何被發明的，所以他提到啟發法。事實上，在他其他的書裡有一些直接關於解題的論點，於是我開始對解題做些思考。後來又偶然讀到笛卡兒的《心靈思考規則》，這是一本真正談解題的書。」
後來他又提到在文學方面的興趣，也引發他在解題的興趣：「……當我對文學有興趣時，我最感到有趣的是戴恩（H. Taine）的書。他寫文學作品的方式是擬科學的（quasi-scientific）。令人難以想像在一個那麼含糊的主題中，你竟然能發現一些非常接近 科學的東西，這深深感動了我，它同樣引發我在啟發法上的興趣。」
從上面的引述可以很清楚地看到，波里亞後來嘗試用規則、機率和邏輯等方法來談論他的合情推理（plausible inference）及啟發法，實是受到戴恩風格的影響。而他為了了解數學而產生的疑惑，由於馬赫、笛卡兒、尤拉等的影響，轉為他對解題的濃厚興趣，這也 正是波里亞的研究生涯裡最鮮明的特徵。
興趣廣泛的一生解題者
其實波里亞一生都是一位典型的解題者，他在許多不同的領域中看到很好的題目，並把他們轉成適當的數學問題。例如：在1918年，波里亞剛到E. T. H.時，他也認識了很多其他學系相當傑出而且已開始在指導學生的教授。他們有的在建築、化學、森林學系，也有在機械、物理系。他一直很有興趣知道這些人在 做些什麼？
後來他又教過一些化學家，而且寫了一篇成功的論文，是關於計算特定的化學組合數目的問題。化學家似乎對這篇論文也不感興趣，但是他的一些想法，確實引發一些化學家在有關群論、圖和化學組合的研究工作。
清晰而簡潔的典範
波里亞不只是找到好的問題而已，擬題和解題無疑是他的能力特質之一。對他而言，解一個問題，他會一直研究下去，直到可以清楚又簡單地看到解法的本質才罷手。為的只是能夠用一種很簡易的方式讓他的聽眾或是讀者了解。
波里亞的論文除了清晰外，他自己也在心中擬出一些文學式的箴言，使得所呈現的數學思想簡單而且容易記憶。例如在描述有關隨機漫步（random walks）的定理時，他就在二維度的情形說：「真的是條條道路通羅馬！」在1947年的一篇有關估測靜電容量的論文中，波里亞在特殊的熱導體中，討論最 小容量的問題時，則說：「在寒冷的冬夜裡，當貓準備睡覺時，牠收捲起小腳，儘可能讓身體捲成球團一般。貓已經證明了這個定理：在給定一體積下，所有立體 中，球面具有最小的表面容積。」在《如何解題》中同樣也找到大量的諺語，來說明解題的原則，其中很有名的一句是：「當你找到一隻蕈時，就應該在附近繼續找 下去，它們是成堆生長的。」波里亞相當生動地指出數學解題時的一條思考明路。
對數學解題的關注
波里亞當然不是第一個考慮人們如何解決數學問題的數學家；數學史上的笛卡兒、尤拉、波因卡瑞（Poincare）、馬赫、波札諾（Bolzano） 等，都對數學的發現和創造有過深入的思考，而且寫過相關的文章。在數學教育的發展中，對解題的強調，以及對啟發法模型的提出與討論，自19世紀末、20世 紀初以來就不曾斷過。但是波里亞強調猜測、注意資料、類比、一般化和特殊化等數學家常用的思考習慣（這應該是每位老師和學生常用的課堂語言），這種作法卻是獨一無二的。他常常用字母「G.P.」來表示「猜測與證明」（Guessing and Proving）。
在解題上的興趣，不僅影響了他後來生涯的課題─《如何解題》、《數學和逼真推理》和《數學發現》等等許多的作品，同時也很清楚地使他成為一個解題 式的數學家。他的數學作品分布在實（複）變分析、變分法、機率論、幾何、數論、組合數和圖論等。他總是看到問題，然後去解問題，而人們總為他所呈現的數學 廣度所震撼。當波里亞被問到為什麼會在這麼多不同的數學方面上做研究時（這對第一流的數學家是絕對不尋常的），他回答說：「部分是受我的老師所影響，部分是受那個時期的數學風氣所影響！後來則因為我對發現上的興趣所致。我看到一些問題，然後找出自己可以掌握分類的問題！這也是因為我並不是直接以數學為志業的，我受到選擇數學這種迂迴的引法所影響……。」
波里亞在數學方面的興趣，總是擺在直覺和創造方面，並且特別注意某些特定的問題。對於現代數學中過度一般化，波里亞顯得沒有耐心，總覺得那些內容是貧瘠而無趣的。
哲人已遠，典範永存
波里亞愛好群居，生性外向而且友善，他是位天生的老師，喜歡和學生彼此間的互動教學關係。例如，他總是在教學，即使在交談中，他也會引導學生去想一些疏忽而看不到的問題。不是學數學的人，也可以從他身上學到關於文學或其他的東西。
1977年，在《圖論期刊》（Journal of Graph Theory）創刊號中的〈向波里亞致敬〉（Homage to George polya）一文中，表達對他的敬意：「無疑地，波里亞在數學家裡是我個人的英雄……他不僅僅是一位著名的紳士，也是最親切、最和藹的人……做為一位數學家，他的廣度、深度、明亮、多才多藝和他的親和性全都散發著，我們是否有一種方法教導和學習這個特色……。」
波里亞一生在著名的期刊上發表過 249 篇論文，寫過九本專著，在很多領域中扮演著開創性的角色。在純數學領域之外，於數學教育史上，也是傳播甚廣、影響甚遠，足以列為本世紀極重要的數學教育家─偉大的教師並不是教我們去做什麼，而是教我們成為什麼！
參考資料：
1. Polya, G., 1989 《數學發現》 台北 九章出版社
2. Polya, G., 1992 《數學與猜想》 台北 九章出版社
3. Polya, G., 1993 《如何解題》 台北 九章出版社
4. Schiffer, M. M., 1988 〈喬治‧波里雅〉 《數學傳播》 12卷4期 33～35頁
5. Wieschenberg, A., 1988 〈與喬治‧波里雅的一席話〉 《數學傳播》 12卷12期 44～47頁
6. Alexanderson, G. L. 1985, "George Polya", Mathematical People; Profiles and Interviews, Boston, Birkhauser, P.246～253.
7. Alexanderson, G. L. 1986, George Polya: A Biographical Sketch, Boston Birkhauser.
8. Alexanderson, G. L. 1987, George Polya his life, Bull. London Math. Soc., 19:559～570.
9. Polya, G., 1959, "Heuristic Reasoning And The Theory of Numbers", Amer. Math. Monthly, pp.109.
10. Schoenfeld, A. H. 1987, George Polya and Mathematics Education, Bull. London Math. Soc., 19:594～596.
註一：顧名思義，奧特佛斯競試是為了紀念奧特佛斯的貢獻於1894年設置的，每年秋天舉行。它和期刊《The Mathematical Journal for Secondary School》的結合，為匈牙利造就了許多優秀的數學家。
註二：利用不等式e^x > 1+x。
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