數老開講-4》第二次世界大戰？不，第二次數學危機

自史上第一次數學危機中發現了無理數以後，離散(有理數系)與連續(實數系)的問題，成了當時學者們所關心與探索的問題。厄里亞學派的哲學家、數學家齊諾(西元前496-前430)提出了四個著名的悖論，從這悖論可以看出古希臘人已經發現了「無窮小量」與「很小很小的量」之間的矛盾。 至16、17世紀，由於求切線、求面積、求極值、求速度等問題的需要，在不少數學家的工作的基礎上，牛頓(Sir Isaac Newton，1643年－1727年)(就是被落下的蘋果K到，進而發現萬有引力的那個人)、萊布尼茲(Gottfried Wilhelm Leibniz，1646年－1716年)創立了微積分。微積分術創立之後立即且廣泛的在科學技術上獲得應用，從而迅速地發展出相關的數學知識及學門，但是微積分學的理論在當時是不夠嚴密的，例如：微積分必須要考慮所謂「無窮小量」的問題。所謂「無窮小量」是指一個「不為零而又極接近零的量」，而所謂「趨近於零」(或者「極限為零」)是指這個量「與零之間不容許有任何空間和距離」。換句話說：「無窮小量」是一個既不是零又不是非零的量。那麼，「無窮小量」是零嗎？如果不解決掉這個問題，那麼無堅不摧的微積分，便將失去了立足之地，一切由微積分所得出來完美的數學和物理學上的結果也將付諸流水！所以，數學史上稱這個窘境為「第二次數學危機」。由於這些矛盾，引起了數學界的極大爭論。如愛爾蘭主教、唯心主義哲學家貝克萊(1685-1753)便嘲笑「無窮小量」是「已死量的幽靈」。這一危機，促使數學家們努力探索微積分學的嚴格理論。直至19世紀，經柯西(1789-1857)(就是提出柯西不等式的那個傢伙！)、魏爾斯特拉斯(1815-1897)等數學家的努力，才基本解決了這個危機，使數學分析建立在實數理論的嚴格基礎上。