數老開講-3》吊詭的論證─齊諾悖論(轉載)

現在人們廣為流傳的齊諾悖論(Zeno's Paradoxes)都是關於運動的，即(1)阿基里斯和烏龜賽跑；(2)兩分法悖論；(3)飛矢不動；(4)運動場問題等。其中「阿基里斯和烏龜賽跑」是最著名的一個。以第一個悖論為例：烏龜和阿基里斯(Achilles)作200米賽跑，烏龜提前跑了100米，而阿基里斯的速度比烏龜快得多(他可是希臘神話中的第一快腿！)─不妨設他的速度為烏龜的10倍，這樣當阿基里斯跑了100米到烏龜的出發點時，烏龜向前跑了10米；當阿基里斯再追了這10米時(別被迷惑了，這段時間只有前段的十分之一)，烏龜又向前跑了1米，……如此繼續下去，因為追趕者必須首先到達被追趕者的原來位置，所以被追趕者總是在追趕者的前面，因此在這個論述下，阿基里斯永遠追不上烏龜。(顯然，這與我們的生活經驗是不相符合的。)這些悖論是公元前五世紀古希臘的數學家兼哲學家齊諾(曾屬於哥達華拉斯學派)提出的。齊諾的原文已經失傳，流傳下來的是哲學家亞里士多德為批判他而作的引述。由於對離散與連續的關係弄不清楚，以致於在齊諾之後的兩千多年中沒有人有辦法証明悖論錯在何處(這隻烏龜也因此囂張了兩千多年...)。其實對「阿基里斯和烏龜賽跑」這樣的問題，現在的高中學生只須用無窮等比數列求和公式(a₁為首項，r為公比，公比的絕對值小於1)即可輕易算出。過程如下：

在追趕過程中，烏龜跑的總路程為

米，

阿基里斯跑的總路程為

米，

由於

故阿基里斯在離起點

米處就己經追上了烏龜！

古希臘人之所以被這個問題困惑了二千多年，主要是他們將運動中的無限過程與「無限時間」混為一談，因為一個無限過程固然需要無限個時間段，但這無限個時間段之總和卻可以是一個「有限值」(即，在特定條件下，無窮級數的和是存在的)。這個問題說明了古希臘人已經發現了「無窮小量」與「很小的量」這兩概念間的矛盾。這個矛盾只有人們掌握了極限知識之後，才能真正地了解。